傅立葉轉換(FourierTransform)是將時間訊號轉換至頻率域。相較於傅立葉轉換，僅能呈現訊號振幅與相位隨頻率變化，但無法知道該頻率發生的時間點。 而短時傅立葉轉換 ( Short-Term Fourier Transform, STFT, or spectrogram ) 用以計算訊號強度與相位隨時間與頻率的分佈，解決傅立葉轉換(Fourier Transform)無法得知頻率發生的時間的缺點。

說明

數學式為

其中，是輸入訊號， 是一個窗函數。數學式中的意義為：每一時間點對作傅立葉轉換，再將窗函數沿著時間軸方向挪移並計算得到的結果即為 代表了訊號某一時間與頻率上的強度或相位。各窗函數的定義，請參閱 Fourier transform。

Windows size 與 Frequency resolution 之間的關係如下：

其中，，Frequency Resolution 設定的越低，計算窗函數會越長，訊號周期性越強，所以頻率越確定，時間不確定。Frequency Resolution設定的越高，計算訊號的窗函數越短，時間越確定，頻率不確定

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，單通道(single channel)，rgular的訊號(signal)、聲音訊號(audio)輸入；輸出訊號格式為複數，單通道的時頻(spectra)資料結構。各參數定義詳如下方圖表。

參數名稱	參數定義	預設值
FreqAxis	時頻圖頻率的分佈可以設定為是 LinearAxis (線性尺度)或是 LogAxis ( 對數尺度)，LogAxis 多用於聲音訊號分析。	LinearAxis
FreqMin； FreqMax	透過設定此參數，可決定繪圖時頻率的上下邊界。	0；0.5 * (Sample Frequency)
FreqResolution	此值會影響到窗函數的大小，設定的越低，窗函數會越長。	(Sample Frequency) / 40
FreqCount	設定 STFT 於頻率方向之格點數。	256
TimeCount	設定 STFT 於時間方向之格點數。	2048
RemoveDC	此值決定在進行 STFT 分析前，要不要先移除直流訊號。	True
Window	在STFT 分析，進行時間軸的分割時，會利用窗函數進行濾波，此處可選擇不同窗函數。關於各窗函數的定義，請參閱 Fourier transform。	Gauss

範例(Example)

以下範例以一個鳥鳴訊號 (Chirp ) 作輸入，利用 Visual Signal 作時頻分析，可以出現頻率隨時間線性變化。

相關指令

Fourier Transform，Morlet Transform，Enhanced Morlet Transform。

參考資料

Stepphane Mallat, a Wavelet Tour of Signal Processing (2nd Ed), 1999.

小波分析 (Wavelet Analysis)，或小波轉換 (Wavelet Transform) 是指用有限長或快速衰減的、稱為母小波 (Mother Wavelet) 的振盪波形來表示訊號。該波形被縮放和平移以匹配輸入的訊號。Morlet transform 即運用母小波 Morlet wavelet，對訊號進行小波分析的方法。

說明

與傅立葉轉換最大的不同，小波轉換將訊號轉為時間–頻率的訊號，根據測不準原理，頻率以及時間解析度的乘積為固定值，即是頻率解析度佳，則時間解析度一定差，反之亦然。短時傅立葉轉換的高低頻率帶的時間與頻率頻解析度皆為定值，但是在處理上，會希望在高頻帶的時間解析度佳，在低頻帶的頻率解析度較佳，唯有小波轉換，才能達到這樣的處理結果。小波轉換的方程式如下：

其中，a 參數為母小波縮放參數，b 為平移參數。再藉由轉換，將 a 值轉換為頻率。母小波必須符合三個條件

而 Morlet Transform 屬於小波轉換，其母小波的定義為，在 Visual Signal 中。

參數設定(Ploperties)

本模組接受實數(real number)，單通道(single channel)，regular的訊號(signal)、聲音訊號(audio)輸入；輸出訊號格式為實數，單通道，regular的時頻(spectra)資料。參數須設定起始與終點位置，其單位等於輸入訊號的時間單位。

參數名稱	參數定義	預設值
FreqAxis	時頻圖頻率的分佈可以設定為是線性尺度，或是 Log 尺度。Log 尺度提供聲音分析使用。	LinearAxis
FreqMin； FreqMax	透過設定此參數，可決定繪圖時頻率的上下邊界。	0； 0.5 * (Sample Frequency)
FreqCount	設定頻率方向之離散網格數。	128
TimeCount	設定時間方向之離散網格數。	2048
RemoveDC	此值決定在進行 Morlet Transform 分析前，是否先移除直流訊號。	True

範例(Example)

以下範例為一個鳥鳴訊號 (Chirp)，利用 Visual Signal 分析其時頻圖，可以發現一個頻率隨時間線性變化。

相關指令

Short Term Fourier Transform，Enhanced Morlet Transform。

參考資料

1.Stepphane Mallat, a Wavelet Tour of Signal Processing (2nd Ed), 1999..

2. Y.-N.Jeng, C.-T. Chen and Y.-C. Cheng, ”The Enhanced Morlet Transform via Iterative Filter to Study Turbulent Data Strings”, The 6th Aslan Computational Fluid Dynamics Conference Taiwan, August, 2005.

*Only in Professional*

Morlet Transform 的缺點是在高頻部分，由於頻率解析度下降的關係，所以高頻會發散，請查閱Morlet Transform 章節。Enhanced Morlet transform 預先以 Gauss 函數處理，以解決高頻處能量發散的狀況。

說明

在小波轉換之前，會先乘上一個高斯函數，拿掉較邊緣、低震幅的訊號，使高頻解析度增加。此轉換的方程式如下，見 Morlet 章節：

其中為高斯函數：

由於高頻部分，Morlet 小波的 Scale 參數 a 會減小，導致高頻的解析度會變差，於是在進行小波轉換之前，會先對 Morlet Wavelet 乘上一個 Gaussian Window使得頻率解析度增加。

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，單通道(single channel)，regular的訊號(signal)、聲音訊號(audio)輸入；輸出訊號格式為實數，單通道，Regul(r的時頻(spectra)資料。各參數定義詳如下表。

參數名稱	參數定義	預設值
FreqAxis	時頻圖頻率的分佈可以設定為是線性尺度，或是 Log 尺度。	LinearAxis
FreqMin； FreqMax	透過設定此參數，可決定繪圖時頻率的上下邊界。	0; 0.5 * (Sample Frequency)
OverlappedFactor	Gaussian window 移動時之重疊量，即為原式的	1
FreqCount	設定頻率方向之離散網格數。	128
TimeCount	設定時間方向之離散網格數。	2048
RemoveDC	此值決定在進行 Morlet Transform 分析前，是否先移除直流訊號。	True

範例(Example)

以下範例為一個鳥鳴訊號 (Chirp)，利用Visual Signal 分析其時頻圖，可以發現頻率隨時間線性變化。

相關指令

Short Term Fourier Transform，Morlet Transform。

參考資料

1.“觀察一維紊流數據的一種有效之新拆解法”, 鄭育能, 陳季聰, 鄭又齊, 第十二屆全國計算流體力學學術研討會。

2. A Wavelet Tour of Signal Processing (2nd Ed)

Hilbert Spectrum 利用 Hilbert Transform，計算訊號每個時間點的瞬時頻率與瞬時振幅，並輸出為 時間-頻率 的矩陣。在 HHT 過程中，EMD後將 IMF 由訊號中提取出來後，我們可順利的把Hilbert Transform 應用在各個 IMF 上，觀看 Hilbert Spectrum 得出之時頻分析結果。利用模組 Haar Transform 之輸出結果也可直接接上 Hilbert Spectrum。

說明

在此模組內，包含了兩種 Hilbert Transform 的方法，請參考 Hilbert Transform 元件中的敘述。

我們可對計算得到其 Hilbert Transform如下：

，其中稱為的Hilbert pair。上式相當於和的 convolution後，再除以：

既。( P.V. 為 Cauchy Principle Value ）

定義為瞬時角速度，而即為瞬時頻率。

因此，Hilbert transform 後，可以得到。

如欲畫為時頻圖，則依時間操作：

所有時間點操作，既可化為時頻圖，此為 Hilbert Transform 。而如此之操做實為將不連續的點畫在圖上，故多會插入高斯函數柔化數值。

若把 multi-channel 全部做 Hilbert transform 後，原訊號可表示成如下的形式(多用於 EMD 拆解後之下一步處理)：

其餘操作同 single-channel。

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)，單通道(single channel)或多通道(multi-channel)，regular的訊號(signal)、聲音訊號(audio)輸入；輸出訊號格式為實數，單通道，regular的時頻(spectra)資料。參數定義整理如下。

參數名稱	參數定義	預設值
Method	選擇 Hilbert Spectrum 計算的方法，"HilbertSpectrum"使用傳統的 Hilbert Transform；"byEnvelope"為逸奇科技自行開發之方法。	HilbertSpectrum
FreqMin	顯示Hilbert Spectrum時設定的最小頻率。	0
FreqMax	顯示Hilbert Spectrum 時設定的最大頻率。	0.5 * (Sample frequency)
FreqCount	設定Hilbert Spectrum於頻率之離散網格數。	256
TimeCount	設定Hilbert Spectrum於時間之離散網格數。	1024
Inst. Freq. Method	計算瞬時頻率的方法，有Simple法與Robust法，請參考微分Diff 元件。	Simple
Smoothing	因Hilbert Spectrum為離散之數值，Smoothing是利用Gaussian函數使其平滑。	True

範例(Example)

因 EMD 會計算出多通道訊號，用上圖表示不夠清楚，可以將 Channel viewer 的 Properties / ViewerHeight 調整為 300，Multi-channeldisplay 調為 List 使繪圖更清析可辨。

相關指令

RADAC EEMD，IMF Properties，TFA Viewer，Haar Transform。

參考資料

1. Proc. R. Soc. Land A 1998(903-995)

2. The Hilbert-huang Transform And Its Applications Huang, by Norden E. (EDT)/Shen, Samuel S. (EDT) World Scientific Pub Co Inc

利用時頻分析將一時域訊號轉為時頻二維陣列之後，提供使用者對 頻率軸 / 時間軸積分 後的 時間域 / 頻率域分佈。

說明

在已處理過時頻分析的訊號，，針對頻率軸積分，得到以時間為參數的分佈。數學上，這樣的操作可寫為：

其中為時頻二維陣列，為時間域分佈，此即為 Marginal Time。若針對時間軸積分，得到以頻率為參數的分佈。這樣的操作可寫為：

為頻率域分佈，此即為 Marginal Frequency，而若此是由處理而得者，將與做傅立葉轉換無異。

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)、複數(complex number)，單通道(single channel)，regular的時頻(spectra)資料輸入；輸出訊號格式為實數，單通道，regular的訊號(signal)。

參數為 Marginal Method，主要針對時頻二維複數陣列處理，與 時間軸 / 頻率軸 積分上採取不同的方法，內建5種選項，內容整理如下圖表。

選項名稱	選項定義
Complex	分別對實、虛部積分。 ， ，
Magnitude	對時頻訊號取 Norm 後再積分。
RealPart	對時頻訊號實部積分。
ImagPart	對時頻訊號虛部積分。
PowerSpectrum	對時頻訊號取 Norm2後再積分。

範例(Example)

範例以聲音訊號 hello.wav 作為訊號源，利用 Visual Signal 中的 Enhanced Morlet Transform 分析其時頻圖，再以 Marginal Time 計算訊號時間域的分佈。

相關指令

STFT，Morlet Transform，Enhanced Morlet Transform，Marginal Frequency。

將時頻圖或階次圈數圖(Spectra)進行轉置，將資料的 X 軸和 Y 軸對調。

參數設定(Properties)

本模組接受實數(real number)、複數(complex number)，單通道(single channel)，regular的時頻(spectra)資料輸入

範例(Example)

以下範例為 OrderSpectrogram by STFT 的計算結果再經過轉置的結果，流程如如下圖。

將 OrderSpectrogram by STFT 結果接至 Transpose Spectra 轉換之後，最後利用 TF Viewer 觀看其結果。

相關指令

OrderSpectrogram by STFT、OrderSpectrogram by EnMorlet、STFT。